线性代数的总结

线性代数的总结


关于行列式

  1. 求解行列式的行为很傻,利用工具就好
  2. 矩阵的行列式等于矩阵列空间向量张开的高维“体积”
    • 当行列式等于0,也就是必有两个或两个以上列向量是平行的、列向量不是满秩的、Ax=b无解。

关于矩阵

  1. 矩阵乘法,记“第一行乘以第一列,第二行乘以第二列……”是下下策
  2. 矩阵乘法的本质是,列空间向量的线性组合,而这个组合实际上就是,在矩阵所张开的列空间中进行列向量的向量变换
  3. 矩阵右乘向量,是用向量对矩阵的列向量进行线性组合;向量左乘矩阵,是用向量对矩阵的行向量进行线性组合

关于特征值和特征向量

  1. 矩阵等于特征向量空间,各个维度数量为特征值的特征向量的组合
    • A=P1DP,S为特征值构成的对角矩阵A = P^{-1}DP, S为特征值构成的对角矩阵

特殊矩阵

  1. 相似矩阵为同一个变换,在不同基底下的表示(单位正交基底只是其中一种)

A=P1BP,ABA = P^{-1}BP, A \sim B

- 如果B为对角矩阵,则B为A矩阵特征值,P为特征向量空间
- 相似矩阵的特征值和特征向量与原矩阵相同

关于矩阵分解

  1. 待续。理论上矩阵如果要压缩,就要找到核心的规律进行分析。比如找到矩阵的秩,或者特征向量